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2020年數學學習方法:談梯形輔助線的作法

時間:2019-08-31 19:28 來源:網絡整理 作者:小學生作文網 閱讀:

  梯形是一種特殊的四邊形,它是平行四邊形和三角形的“綜合”?梢酝ㄟ^適當地添加輔助線,構造三角形、平行四邊形,再運用三角形、平行四邊形的相關知識去解決梯形問題。下面就梯形中作輔助線的常用方法作一介紹,供參考。

 

  一、 平移一腰

 

  過梯形的一個頂點作一腰的平行線,構造一個三角形和一個平行四邊形,能使分散的條件集中起來,為解決梯形問題創造條件。

 

  例1  如圖1,等腰梯形ABCD兩底之差等于一腰的長,那么這個梯形較小的一個內角是(    )

 

  A、90°                   B、60°                    C、45°                    D、30°

 

 

 

  解析:由條件“兩底之差等于一腰的長”,可平移一腰。如圖2所示,平移DC到AE,AE交BC于E?芍狟E=BC-AD=AB。又AB=DC=AE,故AB=BE=AE,△ABE是等邊三角形。所以∠B=60°。故選B。

 

  

 

  二、平移兩腰

 

  平移兩腰,使兩腰交于短底上一點,把梯形轉化為兩個平行四邊形和一個三角形,進而解決問題。

 

  例2  如圖3,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC。E、F分別為AD、BC的中點,且EF⊥BC。求證:∠B=∠C。

 

  

 

  解析:要證∠B=∠C,可把它們移到同一個三角形中,利用等腰三角形的有關性質加以證明。

 

  過點E作EH∥AB,EG∥DC,分別交BC于H、G(如圖4)。

 

  

2012å1′æ•°å-|å-|ä1 æ–1æ3•:è°ˆæ¢ˉå½¢辅助ço¿çš„作æ3•

 

  ∵AD∥BC,∴四邊形ABHE和四邊形EGCD都是平行四邊形(兩組對邊平行)。

 

  ∴AE=BH,ED=GC。

 

  又E、F分別為AD、BC的中點,所以AE=ED,BF=FC。

 

  ∴BH=GC,BF-BH=FC-GC,從而HF=FG。

 

  又EF⊥BC,所以EH=EG,故∠EHF=∠EGF,得∠B=∠C。

 

  評析:題目中若有連接兩底上點的線段,通常要平移兩腰。

 

  三、平移對角線

 

  過梯形底邊的一個端點作某一條對角線的平行線,可以構造出一個三角形和一個平行四邊形,引出解題思路。

 

  例3  在梯形ABCD中,AD∥BC,對角線AC⊥BC,且AC=5cm,BD=12cm,則梯形中位線的長等于(    )

 

  A、7.5cm                 B、7cm               C、6.5cm            D、6cm

 

  解析:由對角線垂直,可平移一條對角線(比如AC),構造出Rt△BDE和ACED(如圖5)。由勾股定理可知BE=13cm,從而得到梯形中位線的長等于BE的一半,即為6.5cm。故選C。

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  四、延長兩腰

 

  延長兩腰相交于一點,可構造兩個三角形,再利用這兩個三角形的性質解決問題。

 

  例4  在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BCD=60°,AD+BC=30,BD平分∠

 

  ABC。求梯形的周長。

 

  解析:延長兩腰相交于點E,如圖6,因∠ABC=∠BCD=60°,故∠E=60°!鰾CE為等邊三角形。又BD平分∠ABC,所以BD垂直平分CE。

 

  所以CD=。又AD∥BC,故△ADE為等邊三角形。AD=ED=CD。由AD+BC=30,知CD+2CD=30,CD=10。

 

  ∴梯形的周長為30+AB+CD=30+2CD=50。

 

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